Liczby trójkątne

Liczba trójkątna $T_{n}$ – liczba obiektów, które – ustawione w regularnej trójkątnej siatce – mogą utworzyć kształt wypełnionego trójkąta równobocznego, w którego boku stoi n obiektów. Początkowymi liczbami trójkątnymi (włączając „zerową” liczbę trójkątną $T_{0}=0,$ odpowiadającą „trójkątowi pustemu”) są:

Sześć pierwszych liczb trójkątnych (bez $T_{0}$)

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,...

(ciąg A000217 w OEIS).

Każda liczba trójkątna jest sumą kolejnych, początkowych liczb naturalnych:

$T_{n}=1+2+3+\ldots +n.$

Korzystając ze wzoru na sumę skończonego ciągu arytmetycznego:

$T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2},$

gdzie $\textstyle {n+1 \choose 2}$ jest symbolem Newtona:

Liczba $T_{n}$ jest liczbą różnych dwuelementowych podzbiorów zbioru $(n+1)$-elementowego, zatem $n$-ta liczba trójkątna jest rozwiązaniem zagadnienia przywitań dla $n+1$ osób.

Łatwo można sprawdzić, czy dana liczba jest trójkątna: trzeba w tym celu skorzystać z faktu, że $n$ jest liczbą trójkątną wtedy i tylko wtedy, gdy $8n+1$ jest liczbą kwadratową .

Własności arytmetyczne

Korzystając z powyższego wzoru możemy obliczyć różnicę i sumę dwóch kolejnych liczb trójkątnych:

różnica: $T_{n+1}-T_{n}=n+1,$

suma: $T_{n+1}+T_{n}={(n+1)}^{2}.$

Uogólnienia

Liczby trójkątne należą do rodziny liczb figurowych .

Bibliografia

• Szczepan Jeleński: Śladami Pitagorasa. Warszawa: 1988. ISBN 83-02-02857-6.
• N.J. Wilenkin: Kombinatoryka. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Triangular Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).