Lemat o π- i λ-układach

Lemat o π- i λ-układach – lemat łączący koncepty π-układu i λ-układu, po raz pierwszy pojawił się w pracach Wacława Sierpińskiego. Dla potrzeb rachunku prawdopodobieństwa odkrył go ponownie Eugene Dynkin.

Uwaga

Jeśli rodzina ${\mathcal {A}}$ podzbiorów zbioru $\Omega$ jest jednocześnie π-układem i λ-układem podzbiorów zbioru $\Omega ,$ to jest ona σ-ciałem podzbiorów zbioru $\Omega .$

Dowód

1. Pokażemy, że $\emptyset \in {\mathcal {A}}$
   • Ponieważ ${\mathcal {A}}$ jest λ-układem:
   • $\Omega \in {\mathcal {A}}$
   • oraz $\Omega \subset \Omega \Rightarrow \Omega \setminus \Omega =\emptyset \in {\mathcal {A}}$
2. Następnie wykażemy, że $A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \Omega \setminus A\in {\mathcal {A}}$
   • $A\in {\mathcal {A}},\Omega \in {\mathcal {A}}$
   • więc z własności λ-układu:
   • $A\subset \Omega \Rightarrow \Omega \setminus A\in {\mathcal {A}}$
3. Pozostaje do pokazania: $A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}\Rightarrow \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {A}}$
   • Ustalmy dowolnie $A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}$
   • Wówczas także (λ-układ): $\Omega \setminus A_{1},\Omega \setminus A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}$
   • Korzystając z własności π-układu mamy: $\bigcap \limits _{i=1}^{n}(\Omega \setminus A_{i})\in {\mathcal {A}},n\in \mathbb {N}$
   • Ale $\bigcap \limits _{i=1}^{n}(\Omega \setminus A_{i})=\Omega \setminus \bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}.$ Wobec tego, również: $\Omega \setminus \left(\Omega \setminus \bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {A}}.$
   • Zdefiniujmy wstępujący ciąg zbiorów, postaci: $B_{1}=A_{1},B_{2}=A_{1}\cup A_{2},B_{3}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3},\dots$
   • Ciąg zbiorów $(B_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest wstępującym ciągiem zbiorów należących do (λ-układu) ${\mathcal {A}}.$ Wobec tego:

$\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}=\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }B_{i}\in {\mathcal {A}}$

Lemat

Jeśli λ-układ ${\mathcal {L}}$ podzbiorów zbioru $\Omega$ zawiera π-układ ${\mathcal {H}},$ to ${\mathcal {L}}$ zawiera $\sigma ({\mathcal {H}}),$ czyli σ-ciało generowane przez ${\mathcal {H}}.$

Dowód

• Zdefiniujmy: ${\mathcal {L}}_{0}=\bigcap \{{\mathcal {C}}\subset 2^{\Omega }:{\mathcal {C}}$ jest λ-układem oraz ${\mathcal {H}}\subset {\mathcal {C}}\}$
• ${\mathcal {H}}\subset {\mathcal {L}}_{0}$
• ${\mathcal {L}}_{0}$ jest λ-układem
• Pokażemy, że ${\mathcal {L}}_{0}$ jest także π-układem:
  • Niech ${\mathcal {L}}_{1}:=\{A\subset \Omega :\bigwedge \limits _{B\in {\mathcal {H}}}(A\cap B)\in {\mathcal {L}}_{0}\}$
  • ${\mathcal {H}}\subset {\mathcal {L}}_{1}$
  • ${\mathcal {L}}_{1}$ jest λ-układem
  • Ponieważ ${\mathcal {L}}_{0}$ jest najmniejszym λ-układem zawierającym ${\mathcal {H}}$ mamy: ${\mathcal {L}}_{0}\subset {\mathcal {L}}_{1}$
  • tzn. $\bigwedge \limits _{A\in {\mathcal {L}}_{0}}\bigwedge \limits _{B\in {\mathcal {H}}}(A\cap B\in {\mathcal {L}}_{0})\quad (*)$
  • Niech ${\mathcal {L}}_{2}:=\{B\subset \Omega :\bigwedge \limits _{A\in {\mathcal {L}}_{0}}(A\cap B\in {\mathcal {L}}_{0})\}$
  • korzystając z $(*)$ otrzymujemy ${\mathcal {H}}\subset {\mathcal {L}}_{2}$
  • ${\mathcal {L}}_{2}$ jest λ-układem
  • ${\mathcal {L}}_{0}\subset {\mathcal {L}}_{2}$
  • tzn. $\bigwedge \limits _{A\in {\mathcal {L}}_{0}}\bigwedge \limits _{B\in {\mathcal {L}}_{0}}(A\cap B\in {\mathcal {L}}_{0})$
• ${\mathcal {L}}_{0}$ jest więc π-układem
• Korzystając z uwagi wnioskujemy, że ${\mathcal {L}}_{0}$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru $\Omega$ zawierającym π-układ ${\mathcal {H}}$
• Wobec tego $\sigma ({\mathcal {H}})\subset {\mathcal {L}}_{0}\subset {\mathcal {L}}\quad \Box$

Zobacz też

• klasa monotoniczna

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Wyd. II. Warszawa: Script, 2001. ISBN 83-904564-5-1. Brak numerów stron w książce